İbrahim Karakuş Tümdengelim

Tümdengelim: Genelden özele, bütünden parçaya gidilerek yargı oluşturulmasıdır. Genelin ya da bir "cins"in özelliğinin özele ya da bireylere yansıtılması yöntemidir de diyebiliriz.
Örnekler:
Bütün sıcak ülkelerin insanlarıöyledir ya; Ganalı arkadaşım bir başka uysaldı.
Dünyanın her yerinde olduğu gibi Türk halkı da ilk defa gördüğü televizyon kar­şısında âdeta büyülenmişti.
Hep öyle olur ya; onun da değeri tahta ata bindikten sonra anlaşıldı.
Toplumsal değişmenin çok hızlı olduğu dönemlerde suç oranı artar.
İstanbul’un toplumsal değişme hızı çok fazladır.
O halde İstanbul’da suç oranı artar.
Yukarıdaki örnekte de görüldüğü gibi tümdengelim yöntemi bize yeni bir bilgi vermez. Genel yargıların içerisindeki saklı olan bilgileri açığa çıkartır.
Bilimsel araştırma sürecinde tümevarım ve tümdengelim yöntemleri birbirlerini tamamlar niteliktedir. Tek tek olgulardan genel ilkelere ulaşılır (tümevarım). Genel ilkelerden yola çıkılarak varsayımlarda bulunulur (tümdengelim). Varsayımların doğruluğunu sınamak için deneyler ve incelemeler yapılır. Bu incelemelerin sonucunda genel ilkelere ulaşılır (tümevarım)

CodeByMath - Enes Karamustafaoğlu

İbrahim Karakuş Toplam Sembolü

İbrahim Karakuş - Çarpım Sembolü

Çarpım Sembolü Özellikleri 

Zafer Can Boran - Gauss

Carl Friedrich Gauss

Matematikçilerin prensi ve antik çağlardan bu yana yaşamış en önemli matematikçi olarak bilinen Gauss matematik ve bilimde birçok etki bırakmıştır. 30 Nisan 1777 tarihinde Almanya’nın Braunschweig kentinde doğmuş ünlü matematikçi, çocukken matematik derslerinde yaptığı ilginç hesaplamalar ile öğretmenlerinin ilgisini birden çekmiştir. Özellikle öğretmeni derste öğrencilerden 1’den 100’e kadar sayıları toplamasını istedikten hemen sonra çok çabuk bir şekilde bu toplamı hesaplaması öğretmenini çok etkilemişti.

Aslında yaptığı yöntem çok basitti:

(1+100)=(2+99)=(3+98)=… =101

1+2+3+..+99+100=101x50=5050

Bu mantıkla sayıları toplamıştı Gauss. Ancak o yaştaki bir çocuğun bu mantığı düşünmesi öğretmenleri tarafından hayretle karşılanmıştı. Bu çözüm ona aslında matematikteki ünlüGauss Yasası'nın temelini oluşturuyordu.

Carl Friedrich Gauss, 1795 yılında Göttingen Üniversitesi’nde öğrenim görmeye başladı. Burada 3 yıl öğrenim görürken pergel ve cetvel kullanarak düzgün bir on yedigen nasıl çizildiğini bulmuştur. Ayrıca pergel ve cetvel kullanılarak her çokgenin çizilemeyeceğini bulmuştur. Bu yüzden Gauss’un doğduğu şehir olan Braunschweig’ta on yedi köşeli bir kaide üzerine yükselen bir heykeli yapılmıştır.Gauss 1799’da kanıtladığı doktora tezinde karmaşık sayılar üzerine tanımlanmış bir polinomun en az bir kökü olduğunu öne sürerek karmaşık sayılar kavramının olgunlaşmasında önemli rol oynamıştır. Yani cebirsel bir denklemin a+ib şeklinde bir kökü olduğunu göstermiş ve karmaşık düzlemi kurmuştur. Bu yüzden karmaşık düzleme Gauss Düzlemi de denir.   Ayrıca i*i = -1 olduğunu da ilk Gauss göstermiştir.

Gauss’un 1801’de yayımlanan sayılar kuramı üzerine yazdığı en önemli eseri  Disquistiones Aritmeticae’dir. Daha sonra astronomi ile ilgilenmeye başlamış, bir asteroidin yerini matematiksel olarak belirleyerek keşfine olanak sağlamıştır. Ayrıca matematiğin önemli yöntemlerinden en küçük kareler yöntemini yine Gauss bulmuştur ve bu yöntemi jeodeziye sokmuştur.

1831 yılında Gauss, fizik profesörü Wilhelm Weber ile çalışmaya başlamıştır. Beraber elektrik ve manyetizma üzerinde birçok araştırma ve deney yaptılar. Birlikte ilk elektromanyetik telgrafı icat ettiler. Gauss’un kendi bulduğu matematiksel Gauss Yasası elektriksel akı ve genel çekim kuvvetinede uygulanmıştır.

Yukarıda anlattığımız gibi matematik, geometri, fizik, astronomi gibi birçok bilim dalına katkıda bulunsa da daha bahsetmediğimiz harita, jeodezi, optik gibi bilim dallarına da katkısı vardır. İsmi matematik ve fizikte birçok teorem ve formüle verilmiştir. Cgs sisteminde manyetik alan birimi 1 Gauss’tur. 2000’li yıllarda Almanya’da 10 DM (Deutsche Mark) üzerinde kendi resmi bulunmaktadır.

İki evlilik geçiren ve altı çocuk sahibi olan Gauss, 23 Şubat 1855’te 78 yaşındayken uzun süre yaşadığı Göttingen şehrinde vefat etti. Beyni araştırma için muhafaza edildi ve halen Göttingen Üniversitesi Tıp Fakültesi’nde bir formalin içinde korunuyor.

Samed Akşit - Proje - Tümdengelim

Geçerli bir akıl yürütmenin veya çıkarımın sonucunu öncüllerinden çıkarmak işlemi. Genelden özele, külliden cüz'iye bütünden ferdiye varan düşünme ve akıl yürütme yöntemi. Bu çeşit düşünme biçimini en iyi bir şekilde ortaya koymanın yollarını araştıran Aristoteles olmuştur.

Tümden gelim, tümevarımla birlikte en genel akıl yürütme şekillerindendir. Burada tümel (külli) bir hükümden tikel (cüz'i) bir hüküm çıkarılır, yasalardan tek tek olay ve olgulara gidilir, nedenlerden sonuçlara ula­şılır. Bu, tümevarımın zıddıdır.

Klasik mantığın üzerinde en çok durduğu akıl yürütme şekli tümdengelimdir. Kıyas, tümdengelimin en mükemmel şekli olarak kabul edilir. Gerçekten Aristoteles'in kıyas (tasım) olarak tanımladığı akıl yürütme şeklinin genelleştirilmesine dayanır. Tümdengelim bazan çok açık olur ve ancak iki öncül önermeye lüzum gösterir. Bazan da çok açık olmadığından ikiden çok öncüle ihtiyaç olur. Bu duruma göre kıyas tümden gelimin en kısa ve en yaygın şeklidir. Ancak, tümden gelim ile kıyası birbirine karıştırmamalıdır. Çünkü, tümevarım şeklinde yapılan birtakım kıyaslar da vardır.

Tümdengelim matematik bilimlerin esas alelini teşkil eder. Bununla birlikte tabiat bilimleri de onu gerek varsayımlarının araştırılıp doğrulanmasında, gerek bir olayın izahı yani yasa haline getirilmesinde bir metod olarak kullanıp ondan yararlanırlar.
Öte yandan tümdengelimin genelden Özele veya tümelden tikele bir akıl yürütme olduğu şeklindeki geleneksel görüş bir çok mantıkçı tarafından yanlış bulunarak kabul edilmemiştir. Bazdan geçerli bütün akıl yürütmenin tümdengelimli olduğunu savunurlar. Sonuçta tümdengelim ile tümevarım arasındaki karşıtlığı reddederler.

Doğadaki detayların gözlemlenerek genel yargılara ulaşılması süreci olan tümevarımı takip eden tümdengelim, ulaşılan bu genel yargılardan yararlanımı artırmak amacı ile tekrar özel seviyeye indirgeyen bir değerlendirme ve yorumlama sürecidir.

Örneğin; doğada görülen iki ya da daha fazla kuş türünün iki ayaklı olduğunu gözlemleyen bir kişi tümevarım metodunu uygulayarak “Birçok kuş gördüm, tamamı iki ayaklı idi. Öyleyse tüm kuşlar iki ayaklıdır.” sonucuna tüm kuş türlerini görmeden ve gözlemlemeden ulaşır. Varılan bu sonuç genel bir yargıdır. Bu genel yargıyı değerlendiren bir başka kişi ise “Tüm kuşlar iki ayaklıdır. Serçe de bir kuştur. Öyleyse serçe de iki ayaklıdır”. diyerek herhangi bir serçeyi görmeden gözlemlemeden bu özel sonuca ulaşabilmektedir.

Tümevarım da tümdengelim de; doğadaki hareketlerin ve unsurların, sosyal olguların ve olayların değerlendirilmesi neticesinde topluma yararlı bir sonuca ulaşılması için gereklidir ve önemlidir. Bu amaçla sıklıkla da uygulanan yöntemlerdir. Bilimsel alanda ampirik sonuçların biriktirilerek teorik kapsamda değerlendirilmesi olarak uygulanan tümdengelim birçok bilimsel çalışmanın başarılı şekilde ilerletilmesi ve sonuçlandırılması için kullanılmıştır.

Suat Arslan - Algoritma

Algoritmanın Tarihi

Algoritma sözcüğü, Özbekistan'ın Harezm, bugünkü Türkmenistan'ın Khiva kentinde doğmuş olan Ebu Abdullah Muhammed İbn Musa el Harezmi adındaki İran'lı alimden kaynaklanır. Bu alim 9. yüzyılda cebir alanındaki algoritmik çalışmalarını kitaba dökerek matematiğe çok büyük bir katkı sağlamıştır. "Hisab el-cebir ve el-mukabala" kitabı dünyanın ilk cebir kitabı ve aynı zamanda ilk algoritma koleksiyonunu oluşturur. Latince çevirisi Avrupa'da çok ilgi görür. Alimin ismini telaffuz edemeyen Avrupalılar "algorizm" sözcüğünü "Arap sayıları kullanarak aritmetik problemler çözme kuralları" manasında kullanırlar. Bu sözcük daha sonra "algoritma"ya dönüşür ve genel kapsamda kullanılır.
Faaliyetlerin birçoğu algoritmanın tanımının geliştirilmesine yönlendirilmiştir ve aktifliği çevredeki sorunlar nedeniyle, özellikle matematiğin temelleri(özellikle Church-Turing tezi) ve akıl felsefesi(özellikle yapay zeka konusundaki tartışmalar) sebebiyle devam etmiştir

Algoritma Nedir?

Bir problemin çözümünde izlenecek yol anlamına gelir ve problemin çözümünün adımlar halinde yazılmasıyla oluşturulur. Genellikle matematikte ve programlamada bir işi yapmak için tanımlanan, belli bir başlangıcı ve sonu olan, açıkça belirlenmiş basamaklardır. Algoritmada 3 temel bileşenimiz vardır. 1. Değişkenler: Dışarıdan girilen ve bizim oluşturduğumuz değerleri tutan elemanlardır. 2. Algoritma: Kısaca gerekli adımların mantıksal bir sıra ile yazılmasıdır. 3. Akış Diyagramı: Birbirine oklar gösterilerek algoritmaları ve şemaları birbirine bağlayan kutulara denir. Her algoritma aşağıdaki kriterleri sağlamalıdır. 1. Girdi : Sıfır veya daha fazla değer dışarıdan verilmeli. 2. Çıktı : En azından bir değer üretilmeli. 3. Açıklık : Her işlem (komut) açık olmalı ve farklı anlamlar içermemeli. 4. Sonluluk: Her türlü olasılık için algoritma sonlu adımda bitmeli. 5. Etkinlik : Her komut kişinin kalem ve kağıt ile yürütebileceği kadar basit olmalıdır.

Algoritma Hayatımızda

►Bir cep telefonunun el kitapçığında yazan, rehber kaydı girmek için izlenecek yollar, o işin algoritmasıdır. ►Bir e-ticaret uygulamasında ürün satış algoritması çıkarılır. ►Bir tiyatro uygulamasının sürekli gerçekleştireceği temel işlem bilet satmaktır. Bu işlemi gerçekleştirmek için gerekli kodlar yazılmadan önce, algoritma kurulmalıdır. ►Üniversite eğitim notunu hesaplama; Üniversitede bir dersin başarı notu, vize ve bir final notu hesaplanır. Vize notunun katsayısı finalden daha düşüktür. Sonuçta çıkan not 50 ve üstüyse öğrenci geçer, 50 altıysa kalır. Vizenin %30 ve finalin %70 ağırlıklı olduğu başarı notunun hesaplanmasını akış diyagramı ve algorıtma kullanarak gösterilebilir
Algoritma bilişim öğrencilerinin sıklıkla kullandıkları bir yöntemdir.Hatta ilk gördükleri algoritma hazırlamak ve programlama dilinde uygulamasını öğrenmek olur.
Şimdi ise bu algortima örneğini inceleyelim
* Klavyeden girilen 3 yazılının ortalamasını bulup kalıp-geçtiğini hesaplayan programın algoritmasını yapınız. Adım -Başla Adım -1. yazılıyı giriniz(y1) Adım -2. yazılıyı giriniz(y2) Adım -3. yazılıyı giriniz(y3) Adım -toplam=y1 + y2 Adım -ortalama=toplam + y3 Adım -ortalama= ortalama / 3(sınav sayısına göre değişkenlik gösterir) Adım -Eğer ortalama 45'ten küçük ise(ortalama < 45) Adım -kaldı Adım -Eğer ortalama 45'ten büyük ise(ortalama > 45) Adım -geçti Adım -Dur(Stop)

ÜSTEKİ ŞEMA BASİT BİR PROGRAMLAMA ALGORİTMASIDIR.

Algoritma Çeşitleri

Gerçek anlamda algoritma çeşitleri aslında her program uygulaması için farklı bir algoritma çeşidi keşfedilebilir. Fakat ihtiyaçlar doğrultusunda geliştirilmiş bazı algoritma çeşitleri vardır.

Arama Algoritmaları

Bu algoritmalar bilgi kümesi içerisinde belirli anahtar kelimelere dayanılarak, onunla ilgili diğer bilgilere erişmeyi amaçlar. Büyük miktarda verinin depolandığı alanlarda istenen bilgiye en kısa sürede erişmek için geliştirilen algoritmalardır. Örnek olarak ardışıl arama, ikili arama, çırpı fonksiyonu gösterilebilir.

Sıralama Algoritmaları

Verilerin belirli kriterler göz önünde bulundurularak, anlamlı ve sıralı şekilde sunulmasını sağlayan algoritmalardır. Verilerin sıralı olması bilgiye erişimi kolaylaştırılır ve işlemlerin daha hızlı yapılmasını sağlar. Bu algoritmaya hızlı sıralama , kabarcık sıralama, seçmeli sıralama örnek verilebilir.

Graf Boyama Algoritmaları

Graf bir olay veya ifadenin düğüm ve çizgiler kullanılarak gösterilmesine olanak sağlayan bir veri modelidir. Eğer bir problem graf veri modeli şekline benzetilebiliyorsa, probleme algoritmik bir bakış açısı sağlanır ve bu veri modelinde tanımlanmış olan teoriler, algoritmalar ve fonksiyonlar çözüm de kullanılabilir. Bu algoritma gezgin satıcı ve en kısa yolun bulunması gibi problemlere hızlı çözümler sunmaktadır.

Genetik Algoritmalar

Genetik algoritmalar problemlerin çözümü için evrimsel süreci bilgisayar ortamında taklit ederek, tek bir çözüm sunmak yerine farklı çözümlerden oluşan bir çözüm kümesi üretirler. Problemlerin matematiksel bir metotla çözülemediği karmaşık sistemler içerisinde sıklıkla kullanılırlar. Ders dağıtım programları, finansal işlemler ve üretim analizi gibi birçok uygulama alanı mevcuttur.

Sıkıştırma Algoritmaları

Bilgisayar ortamında saklanan verilerin, orjinalini kaybetmeden bellek üzerinde daha az yer kaplayacak şekilde kodlanması işlemini gerçekleştiren algoritmalardır. Sıkıştırma teknikleri genel olarak kayıplı ve kayıpsız olmak üzere iki sınıfta toplanırlar. Günümüzde resim, ses, video, metin gibi tüm veri kümeleri çeşitli yöntemlerle sıkıştırılabilmektedir.

Şifreleme Algoritmaları

Verileri aritmetiksel, mantıksal, karıştırma gibi yöntemlere tabi tutarak yetkisiz kişilerden saklamaya yarayan algoritmalara verilen isimdir. Şifreleme günümüzde veri güvenliğinin öneminin artmasıyla kriptoloji adında başlı başına bir alan haline dönüşmüştür. Şifreleme algoritmalarına örnek olarak Des, Md5, Rsa, Aes, 3Desörnek olarak gösterilebilir.

Kök Bulma Algoritmaları

Matematik konusu olan kök işlemleri üzerine çalışan algoritma türüdür. x olarak tanımlı bilinmeyen denklemleri kök bulma algoritma yardımı ile çözebilirsiniz.

Samed Akşit - Tümevarım

Tümevarım nedir? 
Bilim adamlarının yüzyıllardır kullandığı bir yöntem olan tümevarım en basit tanımla, yeni varsayımlara deneyler ve gözlemlerle ulaşmak demektir. Temsil, tümden gelim ve mantık yürütme olarak üç temel dayanağı olan tümevarım, bir “düşünme yöntemi” olduğu için

kuşkusuz yalnızca bilim adamlarının tekelinde olan bir sistem de değildir. Her insan tümevarım yöntemi ile yeni varsayımlarda bulunabileceği gibi, akıl yürüterek bir takım olayların işleyiş mekanizmalarının etkileri ve sonuçları hakkında da bir hükme varılması mümkündür. Bilimsel analizde büyük yeri olan ve Antik Yunan döneminde dahi kullanılan tümevarım yöntemi, aslında Gerçek ve Tam Tümevarım olarak ikiye ayrılarak incelenmesi gereken bir olgudur. Tam Tümevarım; genel bir bütünü meydana getiren tüm parçacıkların tamamı ile ilgili ayrı ayrı yapılan yorumlar sayesinde ilgili bütünün özellikleri, işleyiş mekaniği ya da etkileri hakkında genel bir fikre sahip olmaktır. Bir başka değişle tümevarım; insanın zihnini kullanarak küçük parçacıklar hakkında elde ettiği bilgilerden, bu parçacıkları idare eden yasalar hakkında genel bir bilgi edinmesi işlemidir. Tümevarım yöntemi ile kişi zihnini özel durumlardan genel bir hale yoğunlaştırabileceği gibi, herhangi bir olgu hakkındaki bilgileri ile bu olguya etki eden yasalarla ilgili bir hükme de varabilir. Tümevarım yöntemi ile ilgili verilebilecek en basit örnek; her günün 24 saat sürdüğünün bilinmesi ile “haftanın günleri 24 saattir” şeklinde bir hükme varılabilinmesidir. Kişi Pazartesi’den Pazar gününe kadar her günün 24 saat sürdüğünü bilerek, haftanın günleri hakkında genel bir hükme kolaylıkla varabilir. Yüzyıllarca öncesinde yaşamasına rağmen günümüzde hala bilhassa felsefe çevreleri tarafından adı

 sık sık anılan Aristotales de,  tümevarım yöntemini kullanarak evren ve var oluş hakkındaki temel sorulara cevaplar aramıştır. Tümevarım yönteminin “Gerçek” olarak adlandırılan kısmı ise daha çok Bilimsel Tümevarım olarak tanınır ve daha ziyade bilimsel yasaların açıklanmasında kullanılır. Üzerinde çalışılan bir bütünü oluşturan küçük parçaların üzerinde çalışılması ile bu bütünde yer alan tüm parçacıklara etki eden kuşatıcı yasalar hakkında yorum yapılabilmesi, Gerçek Tümevarım düşünce yapısı ile mümkün olmaktadır. Gerçek Tümevarım yönteminin uygulanmasına yönelik bir örnek vermek gerekirse; altın, bakır ya da demirin ısıya maruz kaldığında genişlediğini gören bir bilim adamı, bu maddeler birer maden olduğu için “madenler ısı aldığında genişler” tarzında bir hükme varabilir.





Gözlediğim Seyrek köyünde köyden kente göç oranı azdır.
Gözlediğim Ortaklar köyünde köyden kente göç oranı azdır.
Gözlediğim Geren köyünde köyden kente göç oranı azdır.
Gözlediğim Yanıklar köyünde köyden kente göç oranı azdır.
O halde sulu tarımın yapıldığı köylerde   köyden kente göç oranı azdır.

İspat 1:P(n): 1+3+5+…+(2n-1)=n² olduğunu tümevarım yöntemiyle ispatlayınız.

i)n=1 içinp(1)=1²=1
ii)n=k içinp(k)=1+3+5+..+(2k-1)=k²n=k+1 için p(k+1)=1+3+5+..+(2(k+1)-1)=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)²
Koyu ile yazılan ifade yerine p(k) yazarsak,=p(k)+(2k+1)=(k+1)²=k²+2k+1=k²+2k+1 olduğundan her n ∈ N+ için p(n) önermesi doğrudur.

İspat 2:

p(n)=2+4+6+…+2n=n.(n+1) olduğunu tümevarım yöntemiyle ispatlayınız.

i)

n=1 için    p(1)=1.(1+1)=2

ii)

n=k için   p(k)=2+4+6+…+2k=k.(k+1)

n=k+1 için   p(k+1)=2+4+6+..+(2(k+1)) =2+4+6+…+2k+(2k+2)=(k+1).(k+2)

koyu ile yazılan ifade yerine p(k) yazarsak,

=p(k)+(2k+2)=(k+1).(k+2)

=k.(k+1)+(2k+2)=(k+1).(k+2)

=k²+k+2k+2=k²+2k+k+2
p(k+1) doğru olduğundan her n∈N+ için P(n) önermesi doğrudur.

Grup Üyeleri:
Zafer Can BORAN (Temsilcri)
Suat Arslan
Enes KARAMUSTAFAOĞLU
İbrahim KARAKUŞ
Samed AKŞİT