Samed Akşit - Tümevarım

Tümevarım nedir? 
Bilim adamlarının yüzyıllardır kullandığı bir yöntem olan tümevarım en basit tanımla, yeni varsayımlara deneyler ve gözlemlerle ulaşmak demektir. Temsil, tümden gelim ve mantık yürütme olarak üç temel dayanağı olan tümevarım, bir “düşünme yöntemi” olduğu için

kuşkusuz yalnızca bilim adamlarının tekelinde olan bir sistem de değildir. Her insan tümevarım yöntemi ile yeni varsayımlarda bulunabileceği gibi, akıl yürüterek bir takım olayların işleyiş mekanizmalarının etkileri ve sonuçları hakkında da bir hükme varılması mümkündür. Bilimsel analizde büyük yeri olan ve Antik Yunan döneminde dahi kullanılan tümevarım yöntemi, aslında Gerçek ve Tam Tümevarım olarak ikiye ayrılarak incelenmesi gereken bir olgudur. Tam Tümevarım; genel bir bütünü meydana getiren tüm parçacıkların tamamı ile ilgili ayrı ayrı yapılan yorumlar sayesinde ilgili bütünün özellikleri, işleyiş mekaniği ya da etkileri hakkında genel bir fikre sahip olmaktır. Bir başka değişle tümevarım; insanın zihnini kullanarak küçük parçacıklar hakkında elde ettiği bilgilerden, bu parçacıkları idare eden yasalar hakkında genel bir bilgi edinmesi işlemidir. Tümevarım yöntemi ile kişi zihnini özel durumlardan genel bir hale yoğunlaştırabileceği gibi, herhangi bir olgu hakkındaki bilgileri ile bu olguya etki eden yasalarla ilgili bir hükme de varabilir. Tümevarım yöntemi ile ilgili verilebilecek en basit örnek; her günün 24 saat sürdüğünün bilinmesi ile “haftanın günleri 24 saattir” şeklinde bir hükme varılabilinmesidir. Kişi Pazartesi’den Pazar gününe kadar her günün 24 saat sürdüğünü bilerek, haftanın günleri hakkında genel bir hükme kolaylıkla varabilir. Yüzyıllarca öncesinde yaşamasına rağmen günümüzde hala bilhassa felsefe çevreleri tarafından adı

 sık sık anılan Aristotales de,  tümevarım yöntemini kullanarak evren ve var oluş hakkındaki temel sorulara cevaplar aramıştır. Tümevarım yönteminin “Gerçek” olarak adlandırılan kısmı ise daha çok Bilimsel Tümevarım olarak tanınır ve daha ziyade bilimsel yasaların açıklanmasında kullanılır. Üzerinde çalışılan bir bütünü oluşturan küçük parçaların üzerinde çalışılması ile bu bütünde yer alan tüm parçacıklara etki eden kuşatıcı yasalar hakkında yorum yapılabilmesi, Gerçek Tümevarım düşünce yapısı ile mümkün olmaktadır. Gerçek Tümevarım yönteminin uygulanmasına yönelik bir örnek vermek gerekirse; altın, bakır ya da demirin ısıya maruz kaldığında genişlediğini gören bir bilim adamı, bu maddeler birer maden olduğu için “madenler ısı aldığında genişler” tarzında bir hükme varabilir.





Gözlediğim Seyrek köyünde köyden kente göç oranı azdır.
Gözlediğim Ortaklar köyünde köyden kente göç oranı azdır.
Gözlediğim Geren köyünde köyden kente göç oranı azdır.
Gözlediğim Yanıklar köyünde köyden kente göç oranı azdır.
O halde sulu tarımın yapıldığı köylerde   köyden kente göç oranı azdır.

İspat 1:P(n): 1+3+5+…+(2n-1)=n² olduğunu tümevarım yöntemiyle ispatlayınız.

i)n=1 içinp(1)=1²=1
ii)n=k içinp(k)=1+3+5+..+(2k-1)=k²n=k+1 için p(k+1)=1+3+5+..+(2(k+1)-1)=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)²
Koyu ile yazılan ifade yerine p(k) yazarsak,=p(k)+(2k+1)=(k+1)²=k²+2k+1=k²+2k+1 olduğundan her n ∈ N+ için p(n) önermesi doğrudur.

İspat 2:

p(n)=2+4+6+…+2n=n.(n+1) olduğunu tümevarım yöntemiyle ispatlayınız.

i)

n=1 için    p(1)=1.(1+1)=2

ii)

n=k için   p(k)=2+4+6+…+2k=k.(k+1)

n=k+1 için   p(k+1)=2+4+6+..+(2(k+1)) =2+4+6+…+2k+(2k+2)=(k+1).(k+2)

koyu ile yazılan ifade yerine p(k) yazarsak,

=p(k)+(2k+2)=(k+1).(k+2)

=k.(k+1)+(2k+2)=(k+1).(k+2)

=k²+k+2k+2=k²+2k+k+2
p(k+1) doğru olduğundan her n∈N+ için P(n) önermesi doğrudur.